monoid 對象
monoid object。monoid
monoidal 圈$ ({\bf C},\otimes,1,\alpha,\lambda,\rho)に於いて、對象$ M\in|{\bf C}|、乘法と呼ぶ射$ \mu:M\otimes M\to M、單位射と呼ぶ射$ \eta:1\to Mの組$ (M,\mu,\eta)は以下を滿たすならば monoid 對象と呼ぶ 五角形の可換圖式 (結合律$ (a\otimes b)\otimes c=a\otimes(b\otimes c)) $ (M\otimes M)\otimes M\xrightarrow\alpha M\otimes(M\otimes M)\xrightarrow{{\rm id}\otimes\mu}M\otimes M\xrightarrow\mu M\xleftarrow\mu M\otimes M\xleftarrow{\mu\otimes{\rm id}}(M\otimes M)\otimes M
$ \alpha;({\rm id}\otimes\mu);\mu=(\mu\otimes{\rm id});\mu
單位律子圖式 (單位律$ \eta\otimes a=a=a\otimes\eta) $ 1\otimes M\xrightarrow{\eta\otimes{\rm id}}M\otimes M\xrightarrow\mu M\xleftarrow\lambda 1\otimes M
$ M\otimes 1\xrightarrow{{\rm id}\otimes\eta}M\otimes M\xrightarrow\mu M\xleftarrow\rho M\otimes 1
$ (\eta\otimes{\rm id});\mu=\lambda,$ ({\rm id}\otimes\eta);\mu=\rho
$ Mは臺集合
乘法$ \cdotは、寫像$ M\times M\to Mで律を滿たすもの 結合律$ (M\times M)\times M\xrightarrow{\alpha}M\times(M\times M)\xrightarrow{{\rm id}\times\cdot}M\times M\xrightarrow{\cdot}M\xleftarrow{\cdot}M\times M\xleftarrow{\cdot\times{\rm id}}(M\times M)\times M $ \{*\}\times M\xrightarrow{\eta\times{\rm id}}M\times M\xrightarrow{\cdot}M\xleftarrow{\rm second}\{*\}\times M
$ M\times\{*\}\xrightarrow{{\rm id}\times\eta}M\times M\xrightarrow{\cdot}M\xleftarrow{\rm first}M\times\{*\}
單位射$ \eta:\{*\}\to Mは、單位元に値をとる定値寫像$ \eta:*\mapsto e
monoid 射 (morphism of monoids。monoid morphism)
monoid 對象$ (M,\mu,\eta),$ (M',\mu',\eta')が在る時、圈$ \bf Cの射$ f:M\to M'は以下の可換圖式を滿たす時に monoid 射と呼ぶ 乘法の保存
$ M\otimes M\xrightarrow{f\otimes f}M'\otimes M'\xrightarrow{\mu'}M'\xleftarrow f M\xleftarrow\mu M\otimes M
$ \mu;f=(f\otimes f);\mu'
單位射の保存
$ 1\xrightarrow\eta M\xrightarrow f M'\xleftarrow{\eta'}1
$ \eta;f=\eta'
monoid 射$ f:(M_0,\mu_0,\eta_0)\to(M_1,\mu_1,\eta_1),$ g:(M_1,\mu_1,\eta_1)\to(M_2,\mu_2,\eta_2)の合成$ f;gは monoid 射である
乘法の保存$ \mu_0;(f;g)=(\mu_0;f);g=((f\otimes f);\mu_1);g=(f\otimes f);(\mu_1;g)=(f\otimes f);((g\otimes g);\mu_2)=((f\otimes f);(g\otimes g));\mu_2=((f;g)\otimes(f;g));\mu_2
單位射の保存$ \eta_0;(f;g)=(\eta_0;f);g=\eta_1;g=\eta_2
圈$ \bf Cの射の合成は結合律を滿たすから monoid 射の合成も結合律を滿たす 乘法の保存$ \mu;{\rm id}_M=\mu,$ ({\rm id}_M\otimes{\rm id}_M);\mu=\mu
單位射の保存$ \eta;{\rm id}_M=\eta
←→餘 monoid (comonoid。餘 monoid 對象 (comonoid object)) monoidal 圈$ ({\bf C},\otimes,1,\alpha,\lambda,\rho)に於いて、對象$ M\in|{\bf C}|、餘積と呼ぶ射$ \Delta:M\to M\otimes M、餘單位射と呼ぶ射$ \epsilon:M\to 1の組$ (M,\Delta,\epsilon)は以下を滿たすならば 餘 monoidと呼ぶ 餘結合律 (co-associativity)
可換圖式$ M\xrightarrow{\Delta}M\otimes M\xrightarrow{\Delta\otimes{\rm id}}(M\otimes M)\otimes M\xrightarrow{\alpha}M\otimes(M\otimes M)\xleftarrow{{\rm id}\otimes\Delta}M\otimes M\xleftarrow{\Delta}M $ \Delta;({\rm id}\otimes\Delta);\alpha=\Delta;(\Delta\otimes{\rm id})
餘單位律 (co-unitality)
$ M\xrightarrow{\Delta}M\otimes M\xrightarrow{\epsilon\otimes{\rm id}}1\otimes M\xleftarrow{\lambda^{\rm op}}M
$ M\xrightarrow{\Delta}M\otimes M\xrightarrow{{\rm id}\otimes\epsilon}M\otimes 1\xleftarrow{\rho^{\rm op}}M
$ \Delta;({\rm id}\otimes\epsilon)={\rm id}=\Delta;(\epsilon\otimes{\rm id})
集合の圈$ ({\bf Set},\times)に於いては餘 monoid は$ \Delta:x\mapsto(x,x)と複製する演算 (對角射) に成る 雙 monoid (bimonoid)
monoidal 圈$ ({\bf C},\otimes,1,\alpha,\lambda,\rho)に於いて monoid 對象$ (G,\mu,\eta)と餘 monoid$ (G,\Delta,\epsilon)が有るとする。射$ \_^{-1}:G\to Gとの組$ (G,\mu,\eta,\_^{-1})が以下を滿たすならば群對象と呼ぶ 可換圖式 (可逆律$ a^{-1}\otimes a=\eta=a\otimes a^{-1}) $ G\xrightarrow{\Delta}G\otimes G\xrightarrow{\_^{-1}\otimes{\rm id}}G\otimes G\xrightarrow{\mu}G\xleftarrow{\eta}1\xleftarrow{\epsilon}G
$ G\xrightarrow{\Delta}G\otimes G\xrightarrow{{\rm id}\otimes\_^{-1}}G\otimes G\xrightarrow{\mu}G\xleftarrow{\eta}1\xleftarrow{\epsilon}G