monoid 對象
monoidal 圈$ ({\bf C},\otimes,1,\alpha,\lambda,\rho)の對象$ M、乘法と呼ぶ射$ \mu:M\otimes M\to M、單位射と呼ぶ射$ \eta:1\to Mの組$ (M,\mu,\eta)が monoid 對象であるとは、此れ等が以下の可換圖式を滿たす事を言ふ。記號の濫用で單に$ Mとも書く 五角形の可換圖式。結合律に當たる$ \alpha;({\rm id}\otimes\mu);\mu=(\mu\otimes{\rm id});\mu $ (M\otimes M)\otimes M\to_\alpha M\otimes(M\otimes M)\to_{{\rm id}\otimes\mu}M\otimes M\to_\mu M.
$ (M\otimes M)\otimes M\to_{\mu\otimes{\rm id}}M\otimes M\to_\mu M.
單位律子圖式。單位律に當たる$ (\eta\otimes{\rm id});\mu=\lambda,$ ({\rm id}\otimes\eta);\mu=\rho $ 1\otimes M\to_{\eta\otimes{\rm id}}M\otimes M\larr_{{\rm id}\otimes\eta}M\otimes 1,
$ M\otimes M\to_\mu M.
$ 1\otimes M\to_\lambda M\larr_\rho M\otimes1.
monoid 對象$ (M,\mu,\eta),$ (M',\mu',\eta')が在る時、圈$ \bf Cの射$ f:M\to M'は以下の可換圖式を滿たす時に monoid 射 (morphism of monoids; monoid morphism) と呼ぶ。これは monoid 準同型の類似である 乘法の保存$ \mu;f=(f\otimes f);\mu'
$ M\otimes M\to_{f\otimes f}M'\otimes M'\to_{\mu'}M'.
$ M\otimes M\to_\mu M\to_f M'.
單位射の保存$ \eta;f=\eta'
$ 1\to_\eta M\to_f M'.
$ 1\to_{\eta'}M'.
monoid 射の合成と恆等射を定義出來、結合律と單位律を滿たす。從ってこれは圈$ \bf Mon(\bf C)である monoid 射$ f:(M_0,\mu_0,\eta_0)\to(M_1,\mu_1,\eta_1),$ g:(M_1,\mu_1,\eta_1)\to(M_2,\mu_2,\eta_2)の合成$ f;gは monoid 射である
乘法の保存$ \mu_0;(f;g)=(\mu_0;f);g=((f\otimes f);\mu_1);g=(f\otimes f);(\mu_1;g)=(f\otimes f);((g\otimes g);\mu_2)=((f\otimes f);(g\otimes g));\mu_2=((f;g)\otimes(f;g));\mu_2
單位射の保存$ \eta_0;(f;g)=(\eta_0;f);g=\eta_1;g=\eta_2
圈$ \bf Cの射の合成は結合律を滿たすから monoid 射の合成も結合律を滿たす 乘法の保存$ \mu;{\rm id}_M=\mu,$ ({\rm id}_M\otimes{\rm id}_M);\mu=\mu
單位射の保存$ \eta;{\rm id}_M=\eta